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Lettre n° 205. Avril 2006

Inégalités

Résoudre et représenter des inégalités

vendredi 31 mars 2006, par Bernard Vuilleumier

Nous nous intéressons ici aux inégalités mathématiques et nous examinons les questions suivantes : comment résoudre une inégalité ou un système d’inégalités ? Comment représenter des régions du plan ou de l’espace à l’aide d’inégalités ou de combinaisons logiques d’inégalités ?

Alain BIHR [1] et Roland PFEFFERKORN [2] proposent la définition suivante de l’inégalité sociale : « une inégalité sociale est le résultat d’une distribution inégale, au sens mathématique de l’expression, entre les membres d’une société des ressources de cette dernière, due aux structures mêmes de cette société et faisant naître un sentiment d’injustice au sein de ses membres ». Ces deux auteurs préconisent une référence à la notion d’inégalité mathématique qui offre selon eux le double avantage de la simplicité et de l’univocité. Ils constatent que toute définition des inégalités sociales y fait implicitement ou explicitement référence et qu’elle s’impose en raison de son caractère non ambigu. Nous nous intéresserons donc ici aux inégalités mathématiques et nous examinerons les questions suivantes : comment résoudre une inégalité ou un système d’inégalités ? Comment représenter des régions du plan ou de l’espace à l’aide d’inégalités ou de combinaisons logiques d’inégalités ?

Les modules :

qui font partie des « packages » standard de Mathematica permettent d’aborder efficacement ces questions. Après avoir chargé ces deux modules, vous pourrez résoudre des inéquations et représenter des domaines du plan ou de l’espace très facilement. Chargeons ces modules et examinons quelques exemples simples :

donne la solution triviale x < -1

Dessinons la droite y=x+1

« Plot » permet de dessiner des fonctions

« Plot » permet de dessiner des fonctions : ici, fonction y=x+1 pour x variant de -1.2 à 0.2.

Si nous nous intéressons par exemple au domaine défini par -1 < x < 0 et y < x + 1, nous pouvons le représenter à l’aide de :

N. B. Le domaine de variation de x n’a pas à être précisé car la première inégalité le spécifie complètement.

« InequalityPlot » permet de dessiner des domaines

« InequalityPlot » permet de dessiner des domaines : domaine défini par -1 < x < 0 et y < x + 1.

Il est possible de résoudre des systèmes d’inégalités liées par des conditions logiques (ici un « et » logique) :

donne la solution :

Les commandes :

fournissent respectivement les représentations suivantes :

PNG - 3.2 ko
Domaine compris entre la droite et la parabole
Fonctions y=x et y=x2-1 et domaine défini par y<x && y x2-1

Les inégalités peuvent être liées par différentes conditions logiques (ici un « et » suivi d’un « ou ») :

En remplaçant InequalityPlot par InequalityPlot3D on peut obtenir des domaines de l’espace à trois dimensions :

PNG - 9.8 ko
Domaine de l’espace à trois dimensions
Domaine défini par l’intersection d’un ellipsoïde et d’un plan.

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Notes

[1] maître de conférences en sociologie, université de Haute Alsace Mulhouse.

[2] professeur agrégé de sciences sociales, université Marc Bloch Strasbourg.

2 Messages de forum

  • Inégalités

    29 septembre 2006 23:24, par Jean-Pierre T.
    Il manque un accent sur le a dans le N.B., en dessous du dessin de la droite : "N. B. Le domaine de variation de x n’a pas a être précisé car la première inégalité le spécifie complètement." a -> à
    • Inégalités 30 septembre 2006 09:13, par Bernard Vuilleumier
      Oui, il manquait un accent grave. Merci de me l’avoir signalé. Vous avez droit à la prime.

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